Книжный каталог

Постников М. Магические квадраты

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Постников М. Магические квадраты ISBN: 9785397057943 Постников М. Магические квадраты ISBN: 9785397057943 194 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Кружка для чая Кружка для чая "Магические квадраты" (уп.4/48шт.) 100 р. mrdom.ru В магазин >>
Ушакова Т. Тренировочные упражнения. Математика. Магические квадраты. 2-4 классы ISBN: 9785407007685 Ушакова Т. Тренировочные упражнения. Математика. Магические квадраты. 2-4 классы ISBN: 9785407007685 62 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Постников М. Вариационная теория геодезических ISBN: 9785971047971 Постников М. Вариационная теория геодезических ISBN: 9785971047971 571 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Постников М.М. Магические квадраты / № 131. Изд.стереотип. ISBN: 978-5-397-05794-3 Постников М.М. Магические квадраты / № 131. Изд.стереотип. ISBN: 978-5-397-05794-3 199 р. bookvoed.ru В магазин >>
Постников М. Теорема Ферма: Введение в теорию алгебраических чисел ISBN: 9785971046356 Постников М. Теорема Ферма: Введение в теорию алгебраических чисел ISBN: 9785971046356 259 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Постников М. Лекции по геометрии. Семестр I: Аналитическая геометрия: Учебное пособие ISBN: 9785971039143 Постников М. Лекции по геометрии. Семестр I: Аналитическая геометрия: Учебное пособие ISBN: 9785971039143 719 р. chitai-gorod.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Магические квадраты

Постников М. Магические квадраты

Михаил Михайлович Постников МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Предлагаемая вниманию читателей книга «Магические квадраты» посвящена сравнительно специальному вопросу, стоящему довольно далеко от магистральной линии развития математической науки. Учение о магических квадратах занимало в математике значительное место лишь в тот период, когда в качестве основных «приложений» математики фигурировали числовые суеверия и астрология; в дальнейшем при возникновении новых, более серьезных «потребителей» математики выяснилось, что для решения соответствующих естественнонаучных и технических задач теория магических квадратов не нужна. С тех пор она стала рассматриваться лишь в качестве одного из математических курьезов. Однако при всем том учение о магических квадратах до сих пор может представлять интерес для любителей математики, в первую очередь для учащихся, в силу изящности построений и простоты и наглядности задач, не говоря уже о том, что это учение представляет собой благодарное поле приложения ряда общих теоретико-числовых концепций, весьма существенных и вне их связи с задачами теории магических квадратов.

Лежащая перед читателем книга представляет собой достаточно серьезное изложение общих методов построения магических квадратов. Несмотря на эту несколько «легкомысленную» тему, все изложение построено весьма тщательно и «математично». Издательство надеется, что эта книга принесет определенную пользу не только в том отношении, что в ней даются достаточно полные ответы на обычно возникающие в связи с магическими квадратами вопросы, но и в смысле воспитания у читателя навыков математического мышления.

Среди различных «занимательных» вопросов теории чисел одними из интереснейших являются вопросы, связанные с магическими (волшебными) квадратами. Однако, несмотря на то, что на русском языке издано уже довольно много разнообразных книг по «занимательной математике» и. почти в каждой из них имеются главы, посвященные магическим квадратам, достаточно полного изложения теории магических квадратов с более или менее общих позиций до сих пор не имеется (если не считать одной главы в книге Я. В. Успенского «Избранные математические развлечения», изд. «Сеятель», 1924 г., давно ставшей библиографической редкостью).

Строго говоря, нет никаких оснований называть теорией известную к настоящему времени сумму сведений о магических квадратах. Как правило, утверждения этой «теории» относятся к квадратам весьма специального вида или даже представляют собой изолированные замечания о тех или иных индивидуальных особо «курьезных» квадратах. Тем не менее некоторые вопросы, связанные с магическими квадратами, можно все же объединить в более или менее целостное учение и рассматривать их с единой точки зрения. В первую очередь это относится к методам построения магических квадратов с нечетным числом клеток и, с некоторой натяжкой, к методам построения магических квадратов с четным числом клеток.

Предлагаемая вниманию читателя книга, при написании которой существенно использована упомянутая выше книга Я. В. Успенского, и имеет целью изложить с единой точки зрения все наиболее известные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток и те методы построения магических квадратов с четным числом клеток, которые допускают достаточно общую трактовку.

При этом мы ограничиваемся лишь «классическими» магическими квадратами, т. е. квадратами, состоящими из последовательных натуральных чисел от 1 до /г2. Встречающиеся в литературе изолированные утверждения о тех или иных магических квадратах, не укладывающиеся ни в какую общую теорию, в книге не рассматриваются.

Чтение этой книги формально не требует никаких знаний, выходящих за пределы элементарного курса алгебры и арифметики, хотя и предполагает известный опыт в чтении математической литературы. Основному тексту книги предпослано введение, в котором излагаются необходимые для понимания первых трех глав сведения из теории сравнений. Читатель, знакомый с элементами теории чисел, может это введение пропустить.

Рукопись книги была прочитана И. М. Ягломом, которому автор приносит свою благодарность за ценные советы и указания.

Источник:

sheba.spb.ru

Постников М. Магические квадраты

Магический квадрат

Тираж 32000 экз.

Эта книга является первой в отечественной литературе попыткой изложения математической теории магических квадратов.

Она требует от читателя довольно высокой математической культуры и рассчитана на достаточно подготовленных любителей математики (учителей, студентов, участников математических кружков для старшеклассников и т.п.).

Предлагаемая вниманию читателей книга "Магические квадраты" посвящена сравнительно специальному вопросу, стоящему довольно далеко от магистральной линии развития математической науки.

Учение о магических квадратах занимало в математике значительное место лишь в тот период, когда в качестве основных "приложений" математики фигурировали числовые суеверия и астрология; в дальнейшем при возникновении новых, более серьёзных "потребителей" математики выяснилось, что для решения соответствующих естественнонаучных и технических задач теория магических квадратов не нужна. С тех пор она стала рассматриваться лишь в качестве одного из математических курьёзов. Однако при всём том учение о магических квадратах до сих пор может представлять интерес для любителей математики, в первую очередь для учащихся, в силу изящности построений и простоты и наглядности задач, не говоря уже о том, что это учение представляет собой благодарное поле приложения ряда общих теоретико-числовых концепций, весьма существенных и вне их связи с задачами теории магических квадратов.

Лежащая перед читателем книга представляет собой достаточно серьёзное изложение общих методов построения магических квадратов. Несмотря на эту несколько "легкомысленную" тему, всё изложение построено весьма тщательно и "математично". Издательство надеется, что эта книга принесёт определённую пользу не только в том отношении, что в ней даются достаточно полные ответы на обычно возникающие в связи с магическими квадратами вопросы, но и в смысле воспитания у читателя навыков математического мышления.

Содержание

1. Сравнения и действия над ними (9)

2. Вычеты, полные системы вычетов (11)

3. Вычеты значений линейной функции (13)

4. Сравнения и неопределённые уравнения первой степени (15)

1. Магические квадраты и методы их построения (18)

2. Общий вид линейного метода построения магических квадратов (22)

3. Условия правильности линейного метода (23)

1. Индийский метод (28)

2. Обобщённый индийский метод (32)

3. Метод Москопула (33)

4. Метод альфила (36)

5. Метод Баше (37)

6. Классические алгорифмические методы с общей точки зрения (40)

1. Общие соображения о методах, использующих вспомогательные квадраты (42)

2. Построение вспомогательных магических квадратов по Делаиру (44)

3. Составление магического квадрата по двум вспомогательным (52)

1. Метод Раус-Болла построения магических квадратов чётного порядка (55)

2. Построение перестановок T в случае чётного m (59)

4. Построение перестановок T в случае нечётного m (64)

Источник:

www.math.ru

Магические квадраты –

Магические квадраты

Магический квадрат – квадратная таблица, заполненная натуральными числами, в которой сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.

Магический квадрат родом из Древнего Китая. По легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) однажды из реки Хуанхэ выплыла громадная черепаха, на панцире которой был начертан таинственный узор.

Со временем узор превратился в знаменитый план "девяти квадратов ". Каждый квадрат ассоциируется с направлением и содержит число. Это называется "диаграммой ло-шу", или "первоначальным планом" и является основой школы Блуждающих или Летящих Звезд в искусстве фэн-шуй. Интересный аспект плана девяти квадратов заключается в том, что вы можете сложить любые три числа по прямой линии – вверх, вниз, поперек или по диагонали – и всегда получите в сумме число 15.

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n -го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n ( n 2 + 1)/2.

Для квадрата 3-го порядка S = 15

Для квадрата 4-го порядка S = 34

Для квадрата 5-го порядка S = 65

Cвойства магических квадратов.

Свойство 1. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.

Свойство 2. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.

Свойство 3. Если квадрат является магическим для какой-нибудь арифметической прогрессии, то он будет магическим для так же расположенной арифметической прогрессии с другим первым членом и с другой разностью.

Правило. Составляя магический квадрат, достаточно сначала составить его из простейших чисел, т.е. из чисел натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, . а затем путем умножения, деления, увеличения или же уменьшения этих чисел можно получить бесконечное число магических квадратов с самыми разнообразными магическими суммами.

Свойство 4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых: 81 = 15 + 66

Свойство 5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.

Источник:

ozenok.net

Постников Михаил Михайлович

Постников М. Магические квадраты

(27.10.1927 - 27.05.2004)

  • Постников М.М. Магические квадраты. [Djv- 1.6M]

(Москва: Издательство «Наука». Редакция математической литературы, 1964. - Серия «Математическая библиотечка»)

Скан, обработка, формат Djv: . предоставил: Айдар Рахматуллин, 2010

  • СОДЕРЖАНИЕ:

От издательства (5).

Введение. О сравнениях (9).

1. Сравнения и действия над ними (9).

2. Вычеты, полные системы вычетов (11).

3. Вычеты значений линейной функции (13).

4. Сравнения и неопределенные уравнения первой степени (15).

Глава 1. Общий линейный метод построения магических квадратов нечетного порядка (18).

1. Магические квадраты и методы их построения (18).

2. Общий вид линейного метода построения магических квадратов (22).

3. Условия правильности линейного метода (23).

Глава 2. Классические алгорифмические методы построения магических квадратов нечетного порядка (28).

1. Индийский метод (28).

2. Обобщенный индийский метод (32).

3. Метод Москопула (33).

4. Метод альфила (36).

5. Метод Баше (37).

6. Классические алгорифмические методы с общей точки зрения (40).

Глава 3. Квазилинейный метод Делаира (42).

1. Общие соображения о методах, использующих вспомогательные квадраты (42).

2. Построение вспомогательных магических квадратов по Делаиру (44).

3. Составление магического квадрата по двум вспомогательным (52).

Глава 4. Магические квадраты четного порядка (55).

1. Метод Раус-Болла построения магических квадратов четного порядка (55).

2. Построение перестановок Т в случае четного m (59).

4. Построение перестановок Т в случае нечетного m (64).

Добавление. Индуктивный метод построения магических квадратов произвольного порядка (71).

Источник:

publ.lib.ru

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Постников М. Магические квадраты

МАГИЧЕСКИЕ И ГРЕКО-ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

Упоминание о магических квадратах встречается в китайских книгах еще за 4000 – 5000 лет до нашей эры. В Европе магические квадраты появились лишь в начале XV века. Им приписывались волшебные свойства, они служили талисманами, защищавшими от несчастий.

Одним из старейших является китайский магический квадрат. В обычной записи он выглядит следующим образом

Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках таким образом, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали одинаковы.

В общем случае магическим квадратом называется такое расположение чисел от 1 до n 2 в клетках квадратной таблицы n n , при котором суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой диагонали одинаковы. Число n называется порядком квадрата, а число s , равное сумме чисел в строках (или столбцах) называется магической суммой.

Для каждого n магическая сумма s вполне определена. Действительно, так как сумма чисел в каждой строке равна s , а строк – n , то сумма всех чисел магического квадрата равна sn . С другой стороны, сумма всех чисел от 1 до n 2 равна . Приравнивая , находим .

В частности, для рассмотренного выше магического квадрата третьего порядка s = 15.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что магических квадратов второго порядка не существует.

Рассмотрим вопрос о том, сколько существует различных магических квадратов третьего порядка. При этом два магических квадрата, получающиеся друг из друга движением, будем считать равными.

Запишем магический квадрат третьего порядка в общем виде

и выясним, какими могут быть эти числа.

Докажем, что центральное число y 2 должно равняться 5. Для этого просуммируем числа, стоящие во второй строке, втором столбце и обеих диагоналях. В полученную сумму S каждое число, кроме y 2 , входит один раз, а само y 2 входит четыре раза. Поэтому, имеем равенство 1 + … + 9 + 3y 2 = 4s . Учитывая, что s = 15, получим y 2 = 5.

Таким образом, магический квадрат третьего порядка должен иметь вид

Выясним, где в этом квадрате может располагаться число 9. Оно не может стоять в углу

В этом случае z 3 должно равняться 1, а каждое из чисел x 2 , x 3 , y 1 , z 1 должно быть меньше 6. Но у нас осталось только три числа, меньших 6, а именно, 2, 3, 4. Следовательно, число 9 может располагаться только в середине строки или столбца, т.е. магический квадрат можно записать в виде

Выясним, где в этом квадрате может располагаться число 7. Ясно, что оно не может располагаться в одной строке с числом 9 и в одной строке с числом 1. Следовательно, оно может располагаться только во второй строке, т.е. магический квадрат можно записать в виде

В одной строке с числом 9 могут находиться только числа 2 и 4. Причем 4 не может находиться в одном столбце с числом 7, т.е. магический квадрат можно записать в виде

Оставшиеся числа 6 и 8 могут располагаться только как в квадрате

Таким образом, магический квадрат третьего порядка (с точностью до движения) определен однозначно.

Рассмотрим теперь магические квадраты четвертого порядка. Они имеют вид

Их магическая сумма равна 34. Покажем, что сумма чисел, стоящих в центральном квадрате 2 x 2, равна магической сумме. Действительно, сумма чисел, стоящих в двух диагоналях, двух центральных столбцах и двух центральных строках равна 6 34. При этом мы посчитали по одному разу числа, стоящие на краю и по три раза – числа центрального квадрата. Обозначим сумму чисел центрального квадрата s . Тогда имеем равенство 6 34 = 1+…+16 + 2 s . Откуда s = 34.

Из этого, в частности следует, что в любом магическом квадрате сумма чисел, стоящих в его углах, равна магической сумме. Действительно, эту сумму можно представить как сумму чисел двух диагоналей минус сумма чисел центрального квадрата.

Один из магических квадратов изображен на гравюре Альбрехта Дюрера "Меланхолия" (Заставка сайта кафедры). Средние числа в последней строке изображают год 1514, когда была написана эта гравюра.

Помимо основных , этот магический квадрат имеет еще дополнительные свойства:

1. Суммы чисел в квадратах второго порядка, примыкающим к вершинам данного квадрата, также равны 34.

2. Суммы чисел расположенных на двух параллельных маленьких диагоналях (5 + 3 + 14 + 12, 2 + 8 + 9 + 15) равны магической сумме.

3. Сумма любых двух чисел, симметричных относительно центра, равна 17.

4. В каждой строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и еще пара рядом стоящих чисел, сумма которых 19.

5. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках и двух средних строках попарно равны.

6. Суммы квадратов чисел в двух крайних столбцах и двух средних столбцах попарно равны.

Рассмотрим еще один магический квадрат четвертого порядка, называемый совершенным.

В этом квадрате равны суммы чисел, стоящих не только в столбцах, строках и диагоналях, но и ломаных диагоналях. Например, числа 2, 12, 15 и 5, а также 2, 3, 15 и 14 стоят на ломаных диагоналях, которые можно спрямить, поставив рядом два одинаковых квадрата.

Данный квадрат остается магическим, если его верхнюю строку переместить вниз или, наоборот, нижнюю строку поставить наверх. Аналогично дело обстоит и со столбцами.

Если из такого квадрата выложить паркет, то в полученном заполнении плоскости сумма любых четырех чисел, расположенных подряд по вертикали, горизонтали или по диагонали равна магической сумме, а сумма любых двух чисел, расположенных на одной диагонали через одну клетку, равна 17.

Свернем квадрат в тор, склеив противоположные стороны. Суммы чисел расположенных вдоль меридианов или параллелей этого тора будут равны магической сумме.

Сопоставим 16 клеток квадрата с 16 вершинами четырехмерного гиперкуба. Сумма чисел, стоящих в вершинах каждой из 24 квадратных граней гиперкуба, равна 34, а суммы пар чисел, расположенных в концах больших диагоналей куба, равны 17.

Общее число различных магических квадратов (с точностью до движений) равно 880. Укажем способ составления таких квадратов. Запишем магический квадрат четвертого порядка в общем виде

Уменьшим каждое число магического квадрата на 1 и заметим, что каждое число от 0 до 15 раскладывается в сумму чисел 1, 2, 4, 8, причем каждое из них участвует в сумме не более одного раза: 1 = 1, 2 = 2, 3 = 1 + 2, 4 = 4, 5 = 1 + 4, 6 = 2 + 4, 7 = 1 + 2 + 4, 8 = 8, 9 = 1 + 8, 10 = 2 + 8, 11 = 1 + 2 + 8, 12 = 4 + 8, 13 = 1 + 4 + 8, 14 = 2 + 4 + 8, 15 = 1 + 2 + 4 + 8.

Из этого следует, что каждый магический квадрат четвертого порядка может быть разложен в сумму четырех квадратов таких, что в первом будут только единицы, во втором – только двойки, в третьем – только четверки и в четвертом – только восьмерки.

Так, например, магический квадрат, полученный из квадрата на гравюре А. Дюрера раскладывается в сумму квадратов

Заметим, что каждый из полученных квадратов является магическим. В общем случае это не обязательно. Например, магический квадрат

раскладывается в сумму четырех квадратов, два из которых не являются магическими.

Магический квадрат называется правильным, если каждый из его составляющих квадратов является также магическим квадратом.

Нетрудно показать, что имеется восемь магических квадратов четвертого порядка, в которых участвуют только два различных числа.

Складывая эти квадраты по четыре можно получить все правильные магические квадраты четвертого порядка. Непосредственная проверка показывает, что число правильных магических квадратов четвертого порядка равно 11.

Приведем способ составления магических квадратов нечетного порядка на примере квадрата 5-го порядка.

В квадрате 5 x 5 добавим клетки, как показано на рисунке и впишем в полученную таблицу числа от 1 до 25 подряд по диагоналям

Перенесем числа, не входящие в квадрат 5 x 5 на 5 клеток соответственно вниз, вверх, вправо или влево так, чтобы они попали на свободное место квадрата. Получим магический квадрат.

Перейдем теперь к рассмотрению греко-латинских квадратов.

Латинским квадратом порядка n называется таблица n n , в клетках которой стоят n различных элементов, причем в каждой строке и в каждом столбце каждый элемент участвует только один раз.

"Латинским" этот квадрат называется из-за обозначения элементов латинскими буквами, хотя удобнее обозначать эти элементы натуральными числами от 1 до n .

Два латинских квадрата порядка n называются ортогональными, если при наложении одного из них на другой каждая из n 2 упорядоченных пар элементов встретится только один раз. Получившаяся таблица из упорядоченных пар элементов называется эйлеровым или греко-латинским квадратом.

Последнее название возникло из-за обозначения элементов одного квадрата латинскими буквами, а другого – греческими буквами.

Способ размещения латинских и греческих букв в указанном выше квадрате дает решение задачи о размещении карт с тузами, королями, дамами и валетами всех четырех мастей в виде квадрата так, чтобы в каждом ряду и каждом столбце квадрата находились карты разных мастей и разных значений.

Во времена Эйлера были известны греко-латинские квадраты третьего, четвертого и пятого порядков. Вопрос о существовании квадрата шестого порядка Эйлер сформулировал в виде задачи:

В каждом из шести полков служат шесть офицеров различных званий. Можно ли построить этих 36 офицеров в каре так, чтобы в каждой колонне и каждой шеренге стояли шесть офицеров различных полков и различных званий?

Эйлер доказал, что существуют греко-латинские квадраты любого нечетного порядка и порядка n , делящегося на 4, и высказал гипотезу о невозможности построения таких квадратов шестого порядка и вообще порядка n = 4k + 2. В 1901 году эта гипотеза была доказана для квадратов шестого порядка. Однако в 1958 году был построен греко-латинский квадрат 10-го порядка, что опровергло гипотезу Эйлера в общем случае.

1. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.

2. Гарднер Г. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

3. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.

4. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.- М.: Наука, 1991.

5. Постников М.М. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964.

Источник:

www.vasmirnov.ru

Постников М. Магические квадраты в городе Волгоград

В данном интернет каталоге вы имеете возможность найти Постников М. Магические квадраты по разумной стоимости, сравнить цены, а также найти другие книги в категории Наука и образование. Ознакомиться с характеристиками, ценами и обзорами товара. Доставка производится в любой населённый пункт РФ, например: Волгоград, Уфа, Кемерово.